| 网站首页 | 数学 | 名师 | 奥数 | 下载 | 素材 | 交流 | 智力 | 专业 | 设计 | 中学 | 数学博览 | 
您现在的位置: 小学数学专业网 >> 奥数 >> 奥数课堂 >> 六年级 >> 正文 用户登录 新用户注册
车少人多巧安排
作者:管理员    奥数来源:本站原创    点击数:    更新时间:2007-10-9
查找本文相关资源   相关书籍
车少人多巧安排

这里我们要介绍的是通过合理安排,使得在汽车少人多的情况下,用最短的时间到达目的地的问题。先看一个简单的问题。 

问题 甲、乙两个班的学生同时从学校出发去距学校24千米的某公园。学生步行速度是每小时5千米。学校有一辆汽车,它的速度是每小时35千米,这辆汽车恰好能坐一个班的学生。两个班的学生用最短的时间同时到达公园用多少时间?

  题目中的要求有两点至关重要,一是两个班“同时到达”,二是两个班同时到达的“时间最短”。

  根据这两点,就要把步行和乘车结合起来,使得每个班的学生步行和乘车在不停地进行。因此我们可以这样设计方案:

  两个班同时从学校出发,甲班步行,乙班乘车;汽车到达中途某地点时,车上的学生下车继续步行前进;汽车则返回,遇上甲班则甲班学生上车,驶向目的地,最后乙班步行,甲班乘车同时到达目的地。这个过程可以用下图表示:

  

  图中B点表示乙班下车地点,A点表示甲班上车地点,带箭头的线段表示汽车的行驶路线。实际上就是甲班步行到A点,然后乘车到达公园,乙班乘车到B点,然后步行到达公园。现在问题的关键在于确定AB两点的位置。

  由于两个班学生步行的速度相等,所以两个班学生步行的距离应该相等,因此从学校到A点的距离应该等于从B点到公园的距离。下面来分析A点与B点之间的距离与公园到A点之间距离的关系,这一步是解决此类问题的关键。

  当甲班步行到A点时,汽车已经到达B点后又返回到A点,由于汽车速度是步行速度的7倍,所以这时汽车行驶距离是甲班学生步行距离的7倍,而汽车行驶距离是A点与B点之间距离的2倍加上学校到A点之间的距离,因此马上就可以知道A点与B点之间距离是学校到A点之间距离的3倍。

  

乘车所行距离为:

  所用时间为:

  从上面的过程可以看出,解决问题的关键在于确定步行距离和乘车距离与全程距离的关系,实际上就是确定上下车地点的位置。下面再看一道稍微复杂一点的问题。

问题 甲班与乙班同时从学校出发去距学校21.7千米的某公园。甲班步行速度是每小时4千米,乙班步行速度是每小时3千米。学校有一辆汽车,它的速度是每小时48千米,这辆汽车恰好能坐一个班的学生。两个班的学生用最短的时间同时到达公园用多少时间?

  本题与上题的区别在于两个班学生步行的速度不同了,因而两个班步行的距离也就不同了。我们还是画出与上题相同的图形:

 

  在这个图中,从学校到A点的距离与从B点到公园的距离不一样,我们解题的思路还是分析各段路程与全程距离的关系。

  不妨假设甲班先步行,乙班先乘车,同时出发。由于汽车速度是甲班步行速度的12倍,用与上题同样的分析方法可以知道A点和B点之间的距离是公园之间距离的关系。

  乙班学生在B点下车后开始步行,汽车行驶了A点和B点之间的距离的2倍加上B点到公园之间距离后与乙班同时到达公园,由于汽车速度是乙班学生步行速度的16倍,所以A点和B点之间的距离是B点到公园之间距离的 

A点之间距离的:

  最后我们得到了图上三段路程的距离与全程距离之间的关系:

  学校到A点距离占全程距离的:

  A点和B点的距离占全程距离的:

  

B点到公园的距离占全程距离的:

  甲班学生步行距离为:

  甲班学生乘车距离为:

  21.73=18.7(千米)

  所用时间为:

  也可以用乙班学生来计算所用时间:

  乙班学生步行距离为:

  乙班学生乘车距离为:

  21.72.2=19.5(千米)

  所用时间为:

  

  解题后同学们可以思考这样一个问题,如果开始时不是甲班先步行,乙班先乘车,而是反过来乙班先步行,甲班先乘车,结果应该是怎样的?

  以上两道题有一个共同的特点,就是汽车速度始终不变,下面看一道车速发生变化的问题。

问题 甲班与乙班同时从学校出发去距离学校35千米的某公园。学生步行速度是每小时4千米。学校有一辆汽车,空车速度是每小时50千米,乘坐人时的速度为每小时40千米。这辆汽车恰好能坐一个班的学生。两个班的学生用最短的时间同时到达公园用多少时间?

  我们还是先画出与前面一样的图形:

  

  首先不难发现由于两个班学生步行速度相同,所以学校到A点的距离与B点到公园的距离相等。我们只需求出学校到A点的距离与AB两点之间距离的关系。

  由于汽车速度在往返的过程中发生了变化,所以从速度之间的关系就不好思考了。我们不妨从时间之间的关系来入手。

  假设满载乙班学生的汽车从学校行驶到A点所用时间为1倍量,则甲班学生步行从学校到A点所用时间就是10倍量,因此汽车在B点放下乙班学生空车返回到A点时所用时间也是10倍量,因此汽车在A点和B点之间往返所用时间就是9倍量。由于汽车去时速度为每小时40千米,返回时速度为每小

  就是:

  由于开始假设的1倍量是满载学生的汽车从学校行驶到A点所用时间,所以速度为每小时50千米的汽车从学校直达公园所用时间就是7倍量,这就

  

  乘车距离为:35530(千米)

  

  以上三道题的不同之处在于,第一题是步行速度和汽车速度都始终不变;第二题是汽车速度始终不变,但两个班学生步行速度不同;第三题是两个班学生步行速度相同,但汽车速度发生变化。共同之处在于三道题都是牵涉两个班的学生,对于多于两个班的情况请同学们做练习。

练习1 甲、乙、丙三个班的学生同时从学校出发去距学校21千米的某公园。学生步行速度是每小时4千米。学校有一辆汽车,它的速度是每小时36千米,这辆汽车恰好能坐一个班的学生。三个班的学生用最短的时间同时到达公园用多少时间?

练习2 甲、乙、丙、丁四个班的学生同时从学校出发去距学校30千米的某公园。学生步行速度是每小时5千米。学校有一辆汽车,它的速度是每小时45千米,这辆汽车恰好能坐一个班的学生。四个班的学生用最短的时间同时到达公园用多少时间?

奥数录入:管理员    责任编辑:管理员 
  • 上一篇奥数:

  • 下一篇奥数:
  • 发表评论】【加入收藏】【告诉好友】【打印此文】【关闭窗口
    没有相关奥数
    (只显示最新10条。评论内容只代表网友观点,与本站立场无关!)