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1.特殊数题
作者:佚名    奥数来源:不详    点击数:    更新时间:2009-1-23
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1.特殊数题

(1)21-12

  当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时,其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。

  因为这样的两位数减法,最低起点是21-12,差为9,即(2-1)×9。减数增加1,其差也就相应地增加了一个9,故31-13=(3-1)×9=18。减数从12—89,都可类推。

  被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……,常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数,其差不变。如

  210-120=(2-1)×90=90,

  0.65-0.56=(6-5)×0.09=0.09。

(2)31×51

  个位数字都是1,十位数字的和小于10的两位数相乘,其积的前两位是十位数字的积,后两位是十位数字的和同1连在一起的数。

  

  若十位数字的和满10,进1。如

  

  证明:(10a+1)(10b+1)

  =100ab+10a+10b+1

  =100ab+10(a+b)+1

  (3)26×86 42×62

  

  个位数字相同,十位数字和是10的两位数相乘,十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数,后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数,前面补0。

证明:(10a+c)(10b+c)

  =100ab+10c(a+b)+cc

  =100(ab+c)+cc (a+b=10)。

(4)17×19

  十几乘以十几,任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10,加个位数的积。

  原式=(17+9)×10+7×9=323

证明:(10+a)(10+b)

  =100+10a+10b+ab

  =[(10+a)+b]×10+ab。

(5)63×69

  十位数字相同,个位数字不同的两位数相乘,用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字,再乘以10,加个位数的积。

  原式=(63+9)×6×10+3×9

  =72×60+27=4347。

证明:(10a+c)(10a+d)

  =100aa+10ac+10ad+cd

  =10a[(10a+c)+d]+cd。

(6)83×87

  十位数字相同,个位数字的和为10,用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数,后两位是个位数的积。如

证明:(10a+c)(10a+d)

  =100aa+10a(c+d)+cd

  =100a(a+1)+cd(c+d=10)。

(7)38×22

  十位数字的差是1,个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘,积为被乘数的十位数与个位数的平方差。

  原式=(30+8)×(30-8)

  =302-82=836。

  (8)88×37

  被乘数首尾相同,乘数首尾的和是10的两位数相乘,乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字,是积的前两位数,后两位是个位数的积。

  

(9)36×15

  乘数是15的两位数相乘。

  被乘数是偶数时,积为被乘数与其一半的和乘以10;是奇数时,积为被乘数加上它本身减去1后的一半,和的后面添个5。

  =54×10=540。

  55×15

  

(10)125×101

  三位数乘以101,积为被乘数与它的百位数字的和,接写它的后两位数。125+1=126。

  原式=12625。

  再如348×101,因为348+3=351,

  原式=35148。

(11)84×49

  一个数乘以49,把这个数乘以100,除以2,再减去这个数。

  原式=8400÷2-84

  =4200-84=4116。

(12)85×99

  两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。

  原式=8500-85=8415

     

  不难看出这类题的积:

  最高位上的两位数(或一位数),是被乘数与1的差;

  最低位上的两位数,是100与被乘数的差;

  中间数字是9,其个数是乘数中9的个数与2的差。

证明:设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0),则

   

  如果被乘数的个位数是1,例如

  31×999

  在999前面添30为30999,再减去30,结果为30969。

  71×9999=709999-70=709929。

  这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a+1)的形式,由9组成的自然数可表示为(10n-1)的形式,其积为

  (10a+1)(10n-1)=10n+1a+(10n-1)-10a。

(13)1÷19

  这是一道颇为繁复的计算题。

  原式=0.052631578947368421。

  根据“如果被除数不变,除数扩大(或缩小)若干倍,商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质,可很方便算出结果。

  原式转化为0.1÷1.9,把1.9看作2,计算程序:

  (1)先用0.1÷2=0.05。

  (2)把商向右移动一位,写到被除数里,继续除

  如此除到循环为止。

 

 

 

 

 

  仔细分析这个算式:

  加号前面的0.05是0.1÷2的商,后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1=0.005,就是把商向右移动一位写到被除数里,除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除,依此类推。

  除数末位是9,都可用此法计算。

  例如1÷29,用0.1÷3计算。

  1÷399,用0.1÷40计算。

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    31.和差积法
    41.用 数 据
    42.想特殊性
    51.由1+2+…+10想到的
    1.想 数 码
    11.想变数为式
    21.用 规 律
    31.扩 缩 法
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