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第七届华杯赛决赛一试试题及解答
作者:〇〇    奥数来源:本站原创    点击数:    更新时间:2008-7-31
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第七届华杯赛决赛一试试题及解答

        1.公园只售两种门票:个人票每张5元,l0人一张的团体标每张如元,购买10张以上团体票者可优惠l0%

        (1)甲单位45人逛公园,按以上规定买票,最少应付多少钱?

        (2)乙单位208人逛公园,按以上规定买票,最少应付多少钱?

        2.用无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体(如右图),大正方体内的对角线所穿过的小正方体都是红色玻璃小正方 体,其它部分都是无色透明玻璃小正方体,小红正方体共用了40l个.问:无色透明小正方体用了多少个?

        3.a是自然数,且17a=,求a的最小值.

        4.对一个自然数作如下操作:如果是偶数则除以2,如果是奇数则加l。如此进行直到为l时操作停止。问:经过9次操作变为1的数有多少个?

        5.已知m,n,k为自然数,m≥n≥k,是100的倍数,求m+n-k的最小值。

        6.1998个小朋友围成一圈,从某人开始,逆时针方向报数,从l报到64,再依次从l报到64,一直报下去,直到每人报过l0次为止。问:

        (1)有没有报过5,又报过l0的人?有多少?说明理由;

        (2)有没有报过5,又报过ll的人?有多少?说明理由;

1.【解】(1)45个人,应当买4张团体票(每张10人),5张个人票,共用:30×4+5×5=145元(比5张团体票省)。

(2)208个人,可以买21张团体票(每张10人),共用:30×21×(1-10%)=3×21×9=567元,

 如果买20张团体票,8张个人票,共用:30×20×(1-10%)+5×8=580元

 由于购买10张以上团体票的可以优惠10%,所以208人买21张团体票反而省钱.本题答案应当是567元

2.【解】,四条对角线都穿过在正中央的那个小正方体,

 除此而外,每两条对角线没有穿过相同的小正方体,所以每条对角线穿过+1=101个小正方体

 这就表明大正方体的每条边由101个小正方体组成因此大正方体由

 1013个小正方体组成,其中无色透明的小正方体有

 1013-401=1030301—40l=1029900,

 即用了1029900个无色透明的小正方体.

3.【解】由除法(不断在右面添写1直到整除为止)得

 

a的最小值是65359477124183

4.【解】可以先尝试一下,得出下面的图:

其中经1次操作变为1的1个,即2,经2次操作变为1的1个,即4,经3次操作变为1的2个,即3,8,…,经6次操作变为1的8个,即11,24,10,28,13,64,31,30.

 于是,经1、2、…次操作变为1的数的个数依次为:1,1,2,3,5,8,…(1)

 这一串数有个特点:自第三个开始,每一个等于前两个的和,即:

 2=1+1,3=2+1,5=3+2,8=5+3,…

 如果这个规律正确,那么8后面的数依次是:

 8+5=13,13+8=21,21+13=34,…

 即经过9次操作变为1的数有34个。

 为什么上面的规律是正确的呢?

 道理也很简单.设经过n次操作变为1的数的个数为,则=1,=1,=2,…

从上面的图看出,大.一方面,每个经过n次操作变为1的数,乘以2,就得出一个偶数,经过n+1次操作变为1;反过来,每个经过n+1次操作变为1的偶数,除以2,就得出一个经过n次操作变为1的数.所以经过n次操作变为1的数与经过n+1次操作变为1的偶数恰好一样多.前者的个数是,因此后者也是个。

另一方面,每个经过n次操作变为1的偶数,减去1,就得出一个奇数,它经过n+1次操作变为1,反过来每个经过n+1次操作变为1的奇数,加上1,就得出一个偶数,它经过n次操作变为1.所以经过n次操作变为1的偶数与经过n+1次操作变为1的奇数恰好一样多.而由上面所说,前者的个数就是,因此后者也是.

经过,n+1次操作变为1的数,分为偶数、奇数两类,所以(2)

即上面所说的规律的确成立。

满足规律(2),并且=1的一串数(1)称为斐波那契数.斐波那契(Fibonacci,约1175-1250)是意大利数学家,以他名字命名的这种数列有很广泛的应用

5.【解】首先注意100=22×52

如果,n=k,那么2m是100的倍数,因而是5的倍数,这是不可能的,所以n-k≥1

2m十2n-2k=2k(2m-k+2n-k-1)被22整除,所以k≥2

设a=m-k,b=n-k,则a≥b.而且都是正整数

2a+2b-1被52整除,要求a+b+k=m+n-k的最小值,

不难看出:210+21-1=1025

被25整除,所以a+b+k的最小值≤1O+1十2=13

而且在a=10,b=1,k=2时,上式等号成立

还需证明在a+b≤10时,2a+2b-1不可能被52整除

列表如下:

a≤3时,2a+2b-1<8+8=16不被52整除.其它表中情况,不难逐一检验,均不满足2a+2b-1被25整除的要求

因此a+b+k即m十n-k的最小值是13

6.【解】首先注意:1998=64×31+14(1)

所以第一次报5的人,第二次报5+14,第三次报5+14×2,…,第K+1次报5+14K(K=0,1,…,9),当然在5+14K超过64时,要减去64的倍数,直至差不大于64。因为5是奇数,14,64是偶数,所以5十14K-64H一定是奇数,不可能为10,即没有报过5,又报10的人

每个第一次报5的人.第二、三、四、五、六次依次报

 5+14,5+14×2,

 5+14×3,5+14×4

 5+14×5—64=11.

因为5×1998=9990=156×64+6

所以在前五轮报数中,有157(=156+1)个人报5,这些人在10轮报数中,又报过11,而后五轮报5的人,不可能再报11,在前五轮报1的人,以后报

11+14,11+14×2,11+14×3,11十14×4-64=3,3十14,3+14×2,

3+14×3,3+14×4,3+14×5-64=9不报5

因此,报过5,又报过11人,有157人

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