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把握转折:从“算术”走向“代数”
作者:内有说明    文章来源:本站整理    点击数:    更新时间:2007-5-5
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把握转折:从“算术”走向“代数” ——“式与方程”和“正比例、反比例”备课解读与难点透视 贲友林 “式与方程”、“正比例、反比例”都是“数与代数”领域的教学内容。“式与方程”主要学习代数初步知识,包括用字母表示数、简易方程和列方程解决简单的实际问题。“正比例、反比例”是小学最后阶段学习的内容,主要学习比、比例、按比例分配、比例尺、正比例、反比例。这两部分内容是学生学习数学的重要转折点,即从算术的学习转向代数的学习,从对“数量”的理解转向对“关系”的探讨。它们是后续学习数学的重要基础。 一,内容变化解读。 与传统的“代数初步知识”、“比和比例”教学内容相比,《数学课程标准(实验稿)》中的“式与方程”和“正比例、反比例”的内容安排从表面上看,似乎没有大的变化。但是《标准》在这两部分内容的目标定位、具体要求以及相应的教材编写建议方面,有了许多实质性的改变。在目标上更强调以下几点: 1,重视教学内容的思想价值。 在“式与方程”、“正比例、反比例”的研究中,充满着已知与未知、特殊与一般、具体与抽象的对立与统一,充满着运动、变化的思想。以学生所要学习的“正比例”为例,其图像的呈现形式,从表面上看是静止的,但从列表、描点到连线这一过程看,却是运动的、变化的。再进一步考察,画成的图像从表面上看是完整的,其实是局部的、不完整的。因为它还可以延伸,即不断地运动、发展、变化。 在以往的教学中,重视的往往是教学内容本身,就内容教内容,忽视这些内容所包含的重要的数学思想与教育价值,从而使教学如同蜻蜓点水,缺乏深度与后继生长力。我们应充分认识到“式与方程”、“正比例、反比例”这两部分内容所蕴含的数学思想方法及教育价值,不露痕迹地渗透于教学过程中,促进学生对所学知识的理解与掌握,提高认识能力,形成良好的数学素养。如“用字母表示数”,是数学中对学生进行辩证思维教育的开端。列含有字母的式子,可以使学生体会“用字母表示数”能够简洁地表示实际问题中的数量关系,方便地表达一般规律,是对数量关系的概括性表述;而在“求含有字母的式子的值”的学习中,通过将每一个变量取定一个数值代入式子,经运算而获得一个确定的值的过程,使学生体会“对应”的思想,领悟“变化”与“确定”之间的辩证关系。通过对“求含有字母的式子的值”操作过程的描述,即以具体的数值代替字母,可以使学生初步感受“换元”的思想。总之,在用字母表示数的教学中,可以有意识地渗透符号化、对应、换元等思想方法,既加深学生对“用字母表示数”的理解,又促进他们接触、了解代数的研究方法,初步体会相应的数学思想方法的精神实质。再如,认识比例的教学,把图形的扩大、缩小与比例知识的学习联系起来,渗透数形结合的思想,既使“比例”的引入显得比较直观、自然,学生容易理解,也促进学生感受数量关系与空间形式的联系。 2,强调对模式与关系的体会、理解。 方程的学习,以往注重的是有关概念和技能,如什么叫方程,什么叫方程的解,什么叫解方程,方程的解与解方程有什么不同,怎样解方程等。再如列方程解应用题,历来被看作是教学的重点和难点,在教学中,教师往往满足于头头是道地给学生分析等量关系,机械地列出方程,解答问题。这样的教学,学生没有经历数学建模的过程,无法体会方程是现实世界的数学模型,应用意识和实践能力的培养也就成了一句空话。 方程是刻画现实世界数量关系的数学模型。《标准》强调从“数学建模”的角度开展方程的教学。结合具体的总是情境教学方程的含义,如“用式子表示天平两边物体的质量关系”,让学生通过观察、分析,写出式子,再比较式子的异同,在讨论和交流中,由具体到抽象感受、理解方程的含义。解方程的教学,让学生依据等式的性质对数学模型进行变换,探求方程的解。教学列方程解决简单的实际问题,要求学生在问题情境中,探索、研究、寻求已知与未知之间的内在联系,建立数量之间的相等关系,即把日常语言抽象成数学语言(数量关系式),进而转换成符号语言(方程式)。在经历多次这样的活动后,学生将逐步感受到方程与实际问题的联系,领会数学建模的思想和基本过程,提高解决问题的能力和信心。 函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。正比例、反比例中隐含的数学函数思想,对学生后续学习数学、物理、化学等学科有重要的促进作用。学习正比例、反比例,数学思维方式发生重要转折,即思维从静止走向运动,从离散走向连续,从运算走向关系。以入教学“正比例、反比例”,教师的着力点往往是引导学生判断两种相关联的量是否成比例,是成正比例还是反比例,以及怎样应用比例知识解答应用题。在《标准》中,通过绘图、估计值、找实例交流等不同于以往的教学活动,帮助学生体会两个变量之间相互依存的关系,丰富关于变量的经历,为以后学习函数概念打下基础。 3,注重在具体情境中去体验、理解有关知识。 “式与方程”、“正比例、反比例”的具体教学目标十分强调“在具体情境中”进行教学。这是因为,小学阶段,学生的数学思维从以具体形象思维为主要形式向抽象逻辑思维为主要形式过渡,其抽象逻辑思维在很大程度上仍与感性经验直接相关联。“式与方程”、“正比例、反比例”的内容在表达形式上比较抽象,作为代数、函数学习的启蒙阶段,通过创设与学生生活环境、知识背景密切相关的,又是学生感兴趣的学习情境,把学习的过程置于一个学生能够体验的环境,从而在直观的感受中,理解字母表达式所反映的等量关系,并会用代数的方式解决一些实际问题,掌握正比例、反比例知识。这正如《标准》所认为的:数学学习“不仅要考虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律”。 如果说数字符号是对生活中各种物体个数的抽象概括,那么代数式则是对各种数字符号的抽象概括。在认识用字母表示数时,教材一般从学生熟悉的生活中选择一些典型数量关系,先让学生用算式表示问题的结果,再通过改变具体数量,抽象出用字母表示数,写出相应的含有字母的式子。具体情境能激活学生已经积淀的算术层面对数量关系的理解,支撑学生在代数层面对数量关系的理解。既使新知识“含有字母的式子”的学习过程有场景作依托,又使学生在读解式子时便于产生联想并理解和表述,使学生在学习抽象的代数知识中感到言之有物,还能认识到代数的学习可以使我们对数量关系的表达更清晰、简洁。这一数学活动的过程,帮助学生从“算术”走向“代数”,促进学生体验数学的概括性和抽象性,发展符号感。再如,“会用方程表示简单情境中的等量关系”这一目标的重点也是“在具体情境中,用方程建立等量关系”。 4,加强与中学数学的衔接。 以前小学阶段的解方程,其基本依据是加与减、乘与除之间的逆运算关系。中学学习解方程用的是代数的方法。《标准》明确要求:在小学里学习解方程也是利用等式的性质,这样中学学习不再是另起炉灶。小学里解方程的教学,与中学数学教学的衔接,不仅仅表现为解方程方法的一致,更有价值的是:思考问题的方法趋向一致。根据四则运算的互逆关系解方程,属于算术领域的思考方法;用等式性质解方程,属于代数领域的解方程。两者有联系,但后者是前者的发展与提高。这样,在解方程的教学中,学生将逐步接受并运用代数的方法思考、解决问题,使思维水平得到提高。 二,教材梳理。 在不同版本的教材中,这两部分内容的编写有较多的一致性,如,都安排在第二学段,都采用了循序渐进、螺旋上升的编写方式。但具体到哪一册教材安排了哪些内容,不同版本的教材略有不同。由于数学知识前后之间具有系统性、逻辑性,因而各版本教材中具体知识点学习的先后顺序是相同的。 1,遵循知识的形成过程,符合学生认知发展规律。 以苏教版教材为例,对“式与方程”、“正比例、反比例”这两部分具体内容的编排布局作如下的梳理。 “式与方程”——先是学习用字母表示数,为学习方程及其他代数知识奠定基础。用字母表示数,教材先是通过简单的问题情境,让学生理解字母可以表示数,并学习用含有字母的式子表示简单的数量、数量关系的计算公式;再联系一些稍复杂的数学问题,引导学生进一步学习用含有字母的式子表示稍复杂的数量、数量关系和计算公式,接着学习化简形如“ax±bx”这样含有字母的式子,既初步“涉足”代数式运算,又为后继学习了解形如ax±bx=c的方程作准备。到方程部分,教材首先结合具体的情境,引导学生认识等式和方程,了解等式与方程的关系;再探索并理解等式的性质,学习解只有加法或减法、乘法、除法的简单方程;然后学习列方程解决简单的实际问题。在学习只有加、减、乘、除一步计算的方程之后,再由浅入深、由易到难,探讨解稍复杂一些的方程以及解稍复杂一些的实际问题。在解决整数、小数实际问题的基础上,结合分数、百分数的学习,探讨列方程解决分数、百分数的实际应用问题。 “正比例、反比例”——这部分内容在《标准》中仅涉及“按比例分配”、“正比例、反比例”,犹如冰山露出水面之一角。按比例分配的学习前提是认识比,比与分数除法有着较多的联系,因而教材在学生学习了分数除法之后,安排比的认识,探索比的基本性质,并在比的应用(按比例分配)中加深理解比。比的学习又是比例的基础,在学习正比例、反比例之前,教材安排了比例尺的学习。关于比例尺,教材先是通过实际问题认识比例尺,理解比例尺的意义,再让学生探索解决已知比例尺和图上距离,求实际距离的实际问题以及综合应用比例尺和空间与图形的知识解决实际问题。 2,教材对这两部分内容作了早期孕伏。 例如,学习“用字母表示数”,字母并不是一下子很突兀地呈现于学生面前。在此之前,教学加法和乘法的运算定律时,已经引导学生用字母表示各运算定律;在第一学段学习长方形、正方形等平面图形的面积计算时,已经接触了用字母表示各图形的面积计算公式;这些都是学习“用字母表示数”的基础。又如,学生通过前面几个学期“算术”内容的学习,对简单实际问题中的基本数量关系已比较熟悉。以“速度、时间、路程”为例,在以往解决具体问题的过程中,学生初步理解了三者之间的关系,而在学习用字母表示数之后,进行抽象概括,用公式表示,这样对数量关系的认识与理解达到更高的抽象水平。而这些,又是学习方程时建立数学模型的重要知识基础。再如,关于正比例、反比例的教学,教材在此之前也安排了相关的问题设计。如苏教版三年级教材结合乘法、除法的教学,练习中安排了如下习题: ●王老师准备用72元钱去买笔记本。如果买单价是2元的,能买多少本?如果买单价是3元、4元或6元的呢? 笔记本的单价2元3元4元6元 买的本数 观察上表,你有什么发现? ●小红家养了5匾蚕,平均每匾能收180个蚕茧。你能把下表填写完整吗? 匾的个数12345 蚕茧的个数 180 观察上表,你有什么发现? 像这样的练习,学生通过计算、观察、比较,体会数量之间相互依存的关系,为后继学习正、反比例埋下伏笔。 三,教学中值得特别注意的问题。 “式与方程”是代数学习的开端;“正比例、反比例”使学生进入对“关系”的探讨。作为学生进行数学学习的重要转折点,教师在教学中要注意的问题比较多。下面结合一些具体案例作探讨。 1,学习用字母表示数,不能一蹴而就。 用字母表示数是代数学习的首要环节,理解用字母表示数的意义是学习代数的关键,也是在后续学习中运用代数式、方程、不等式、函数进行交流的前提条件。字母表示数的思想,深刻地提示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性,把认识和推理提到一个更高的水平。学生对用字母表示数的理解,要在经历大量运用字母表示具体情境中数量关系的活动中实现。 英国关于儿童数学概念发展水平的研究表明,学生对字母表示数的理解方式可以概括为六个水平: (1)一看到字母,就直接赋予它一个数值;(2)对题中的字母视而不见,不理睬,或者承认其存在,但不赋予它任何意义;(3)把代数式中的字母看作具体物体的记号,或直接看作物体;(4)把字母看作特定的未知量,这时字母在儿童心中是某个(具体的)未知数的记号,可以直接参与运算;(5)把字母看作广义的数,这时,在儿童心中字母是数,而且可以取多个值;(6)把字母看作变量,即儿童把字母看作可在一定范围内的变数,两组这种数之间有一种系统的关系。 研究还表明,只有少部分学生把字母看作广义的数,把字母看作变量的就更少了。大多数学生把字母当作具体的对象。正如一位教授所言:“字母表示数”,是一个非常丰富而又“难产”的概念。由此,我们要建立这样的认识:学生经历从用数字表示数到用字母表示数的过程是一个漫长的过程,需要经历大量的活动,积累丰富的经验,让学生在具体情境中反复体会用字母表示数的意义。在小学,学生对代数知识的认识非常肤浅。例如,许多学生认为2x=9与2y=9的意义不同。我们要注意纠正学生在学习中形成的不恰当概念。在教学时,从学生熟悉的生活中选择一些典型的数量关系,引导学生用字母表示数。具体说来,要抓住三个环节:如何引入用字母表示数;怎样引导学生理解含有字母的式子不仅表示数,还表示数量关系;注意让学生体会用字母表示数的好处。 案例1:用字母表示数 片段1:创设情境,引入用字母表示数。 课件呈现学生分小组用小棒摆三角形的场景。场景1:一组学生摆了1个三角形。场景2:一组学生摆了2个三角形。场景3:一组学生摆了3个三角形。场景4:一组学生摆三角形,但所摆的三角形的个数从场景中辨识不出来。 教师依次提问并完成板书: 摆1个三角形用3根小棒; 摆2个三角形用小棒的根数是:2×3; 摆3个三角形用小棒的根数是:3×3; 场景4呈现后,提问:他们摆了多少个三角形?要用几根小棒? 学生做出“摆4个三角形”、“摆5个三角形”等各种猜测后,有学生指出:他们可能摆了任意个三角形。 师:我赞同你的说法。摆任意个三角形,要用多少根小棒? 学生独立思考后全班交流。 生1:可以用?×3,用?代表未知的多少个三角形。 生2:可以用( )×3。 生3:可以用X表示,用了X×3根。 师:X表示什么? 生3:X表示三角形的个数。 生4:用字母表示,用a表示。 师:当不知具体有多少个时,通常可以用字母表示数。(板书:用字母表示数) 用字母表示数,看似简单,实则不然。如何引入字母?教师让学生经历从“具体事物——个性化地用符号表示——学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程,在交流、分享的过程中丰富经验。学生用自己的语言进行描述,并在师生互动过程中运用符号将这个关系和规律表示出来。 片段2:感悟含有字母的式子既表示数,又表示数量关系。 师:咱们来玩个猜年龄的游戏。谁悄悄地在我耳边告诉我:今年几岁了? 学生耳语时,教师板书:b b+22 师:如果b和b+22中有一个是我的岁数,有一个是他的岁数,想一想,究竟哪一个表示我的岁数,哪一个是他的呢?说说你的想法。 结合学生的回答,教师引导学生领会“从式子b+22中可以看出老比这位学生大22岁”。 师:看到这个式子b+22,你能联想到什么呢?比如,他1岁时,我多大? 学生例举回答学生的岁数与老师的岁数之后,教师小结:字母b表示的是一个可以变化的数,但只要b确定了,b+22就是一个确定的数。 师:如果用n表示老师的岁数,这位学生的岁数可以表示为—— 生:n-22。 师:从这个式子中,我们可以看出:这位学生比老师—— 生:小22岁。 师:对!n-22,既表示这位同学的岁数,又表示了他和我两人岁数之间的关系。 用字母表示数的教学,学生除了经历运用含有字母的式子表示数量关系和变化规律的过程之外,反过来,当他们面对一个含有字母的式子时,要能理解它所代表的实际意义,理解其中所蕴含的规律,并据此进行解释或解决问题。上面的教学,熟悉的具体场景给学生一个从具体到抽象的依据和支柱,使学生既能够从具体情境中抽象出“含有字母的式子”,读懂式子的含义,又能够面对一个含有字母的式子联想情境,阐述基子所表示的意义。通过b和b+22的比较,帮助学生读懂b+22这个含有字母的式子的内涵,领会其同意又表示两个数量之间的关系。 片段3:体会用字母表示数的简洁与便利。 师:我们已学过运算定律。还记得吗?能写出来吗? 学生在表格中填写后,教师指着加法交换律a+b=b+a,提问:a和b分别表示什么? 生:a、b表示两个加数,两个加数交换位置,和不变。 师:为什么不用数表示? 生:简单。 师:用具体的数只能反映具体的例子,有局限性,用字母表示呢? 生:字母可以表示任意一个数,数字只表示具体的一个数。 出示文字:两个数相加,交换加数的位置,和不变。 师:为什么不用文字表示? 生:用字母表示方便。 生:不啰唆。 师:是的,用字母表示,简明易记,便于应用。 教师充分利用学生已有的知识和经验“旧话重提”,通过对以往已经学过的运用字母表示运算定律进行再认识,促使学生进一步体会字母可以代表任何数,并初步体会用字母表示数的简明与普遍性。 2,认识方程,不能一告了之。 方程思想的首要方面是“能根据具体问题中的数量关系,列出方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”。因此,教学应通过设计丰富的情境,让学生经历建立方程模型的过程。在教学认识方程时,教师就要有“建模”意识。 小学生由于认识的局限性,他们往往把运算中的等号看作是“做什么”的标志。如在算式“3+2”的后面写上等号,往往被理解为执行运算的标志。他们通常把等号解释为“答案是……”而实际上,他们应把等号看作是相等和平衡的符号,逐步认识到:这个符号表示一种关系,即等号两边的数量是相等的,也就是在3+2与5之间建立了相等的关系。由此可见,在以往的教学中我们要注意纠正如下“错误”,如,学生学习两步计算的实际问题时,有学生列出这样的算式:3×5=15+2=17(本),而正确的写法应当是:3×5=15(本),15+2=17(本),或3×5+2=17(本)。认识方程以及后续方程的学习,等式是学生需要面临和着力理解的重要代数概念。 案例2:“方程的意义”片段(河南 牛献礼) 场景1:超市举行学习用品大展销。部分商品的标价是:日记本单价5元,文具盒单价10元,足球单价30元,书包、乒乓球拍未标注单价。 师:书包、乒乓球拍的单价不知道,我们可以怎么表示? 生:分别用x、y表示它们的单价。 师:如果拿50元钱去购买商品,用钱的结果会有哪几种不同的情况?(三种情况:有余额、不够、刚好用完。) 师:如果请你自己购物的话,你准备选择什么?把你的购买情况与用钱结果用式子表示出来。 学生独立思考,根据不同买法写出不同的式子:30+10+5×250,30+x=50,10+y<50等。 场景2:一场篮球比赛,红、蓝两队打得很激烈。组织学生根据场景图中的信息用数学式子表示两队比分关系:26<33。 师:红队教练叫暂停,作了战术调整,刚上场的一段时间里,只有红队连续得了x分,请你猜一猜,两队的情况会怎样呢?你能用数学式子表示比分可能出现的几种关系吗:26+x<33,26+x>33,26+x=33。 场景3:天平上,4块月饼的质量一共是400克。学生用式子表示:4x=400。 场景4:一个水壶里装满了2000毫升水,刚好倒满2个热水瓶和1个200毫升的杯子。学生用式子表示:2x+200=2000。 教师将刚才对场景描述所得到的式子集中呈现。 师:你能把这些式子按照一定的标准进行分类吗?在小组里先说一说,再汇报。 组1:我们把有等号的式子分成一类,有大于号、小于号的式子分成一类。 根据学生的汇报,教师将上述式子作如下整理: 是否是等式 30+10+5×2=50 10+y<50 30+x=50 26<33 26+x=33 26+x<33 4x=400 26+x>33 2x+200=2000 组2:有的式子中有字母,可分成一类;式子中没有字母的,分成一类。 师:对!字母在这些式子中表示的是——未知数。我们可以把这样的分类方法和刚才一组汇报的分类方法综合起来。 教师对上述整理的式子进行整理。 是否是等式 ① ② 30+x=50 10+y<50 26+x=33 26+x<33 4x=400 26+x>33 2x+200=2000 是否含有 未知数 30+10+5×2=50 26<33 ③ ④ 师:我们同学通过思考、交流,把这些式子分成了4类。请观察这4类式子,说一说每一类式子有什么特征? …… 师:正如我们同学所描述的像第①类式子这样,含有未知数的等式是方程。 以上教学片段,从生活实际——购物场景中引入,学生有生活的经验,很自然地想到用钱结果会有三种情况,用式子表示,引出等式与不等式;在等式与不等式的比较中建构对“相等关系”、“等式”的理解。接着,在不同的场景中,用数学方式表述现实场景中各种关系,再通过观察、比较、分类、交流等活动,概括方程概念。概念的构建过程,并不是由教师机械地传授乃至直接告诉学生,而是用数学符号提炼现实生活中特定关系的过程。方程对小学生来说,不仅是形式上的认识,也是感受在解决实际问题过程中建立模型的过程。 3,解方程的教学,不能一仍旧贯。 方程作为一种重要的思想方法,它对丰富学生解决问题的策略,提高解决问题的能力,发展数学素养有着重要的意义。与以往教学不同的是,解方程的教学,一是与解决实际问题结合,学生根据实际问题列出方程后,再探索方程的解法。二是学生在解方程的过程中,要探索、理解再应用等式的性质。我们还要认识到:解方程的着眼点不仅仅是去求方程的解的过程,而是在求方程的解的过程中,进行数学模型的变换,进一步体会“相等关系”。 案例3:“利用等式的性质解方程”教学片段 出示场景图:一共有9个皮球,盒内有x个,盒外有3个。 提问:你能根据图列出方程吗? 板书:x+3=9 启发:怎样解这个方程?你有什么办法?把你的办法先和小组里的同学交流。 学生在全班交流后,教师运用课件将天平图如如下动态演示: 结合演示过程,板书解方程的过程。 引导:x=6是不是正确的答案呢?我们可以通过检验来判断…… 从以上教学片段可见,“天平”为处理方程提供了一个强有力的智力图像。方程类似于一组天平,方程中的等号表示处于平衡状态,用天平平衡的道理,形象直观地帮助学生深化对“相等关系”的理解。利用等式性质解方程,重要的是帮助学生建立如下规则:在等式的两边进行相同的运算,那么平衡就得到了维持。解方程的过程,不能演绎为操作、训练解方程技巧的过程,而应当成为深刻理解上述规则的过程。 还要指出的是:在教学解方程的过程中,注意教给学生检验的方法,并在练习中经常提醒学生对解方程过程中的每一步进行检验。
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