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康熙皇帝与符号代数
作者:佚名    数学博览来源:shuxueweb    点击数:    更新时间:2007-10-22

  欧基里得(Euclid)曾说:“学习几何学没有王者之路!”。事实上,学习代数学亦然,譬如说吧,在中国数学史上鼎鼎大名的康熙皇帝,就在符号代数的学习过程中,表现了类似今日国中学生茫然不知所措的模样,这个历史经验,实在很值得教学工作者参考与借镜。

  这里所指的符号代数,当然是清初传教士传入中国的西方数学知识。当时有两种西方代数传入中国,第一种被称作“借根方比例法”,第二种则叫作“阿尔热巴拉新法”。所谓“阿尔热巴拉”,无疑是英文“algebra”的音译,也曾被称作“阿尔热巴达”或“阿尔朱巴尔”(当是法文“algebre”的音译)。其实,这几个名称也都曾指涉第一种,譬如在公元1711年,康熙皇帝与直隶巡抚赵宏燮讨论数学时,就指出:

  算法之理,皆出于‘易经’,即西洋算法亦善,原系中国算法,彼称为“阿尔朱巴尔”者,传自东方之谓也。

  来年梅觳成入宫肄业于畅春园的蒙养斋,负责主编《数理精蕴》等书,康熙皇帝授以传教士传入的代数学,并且谕示:

  西洋人名此书为阿尔热巴达,译言东来法也。

  按此书可能是某传教士所译的《借根方算法节要》。至于在该书中不沿袭原名而改称为“借根方法”,“乃译书者就其法而质言之也。”换句话说,“借根方(比例)法”是一种“意译”!后来奉康熙皇帝指示,梅觳成遂将它编入《数理精蕴》(1723)卷三十二 —— 三十六。

  然则何以“algebra”是一种“东来法”呢?这就必须追溯这个英文字的语源了。原来“algebra”相当于拉丁文的“al-jabr”,出自阿拉伯数学家阿尔花拉子模(Al-Khwarizmi,第九世纪)的一本代数著作的书名 (Hisab al-jabr w‘al muqabala),原指“还原”(restoration)之意,例如将 2x+5 = 5-3x “还原”成 5x+5 = 8.这种代数不但未涉及符号法则(symbolism),当然也不曾引进文字系数;同时,方程式(equation,原意是令相等之后所得到的式子)两端也像天平平衡一样而不等于零,譬如二次方程就表示成像x +6x=4等等;此外,求解程序也都以文字叙述。后来再由意大利数学家卡丹(G. Cardano, 1501-1576)全盘接收,因此,对西欧人而言才有“东来法”之说。至于“符号代数”(symbolic algebra),则是第二种,亦即“阿尔热巴拉新法”的主旨,源自法国数学家维达(F. Vieta, 1540-1603)著作《解析方法入门》(Introduction to Analytic Art,1591-95)的发明。它的特征除了代数方程的系数以文字符号表示、符号可以一如数目演算之外,方程式任何一端可以置零,譬如 ax +bx+c=0;还有,维达也特别强调代数是研究像二次方程这种“形式”(species or forms of things)的学问,而算术则完全诉诸数目(species of numbers)。

  有趣的是,当时中国人为了安心学习西算,遂将“东来”解释成来自中国,于是,梅觳成就以《测圆海镜》(元李冶撰)与《数理精蕴》中例子,来比较“天元术”与“借根方法”,证明它们“名异而实同”。可惜,中土“不知何故遂失其传,犹幸远人慕化,复得故物”,“东来之名”正好表示西人不忘本,如此说来,中国人怎么可以不好好地学习西算呢。这是梅觳成为盛行于明末清初“西学中原说”所下的最佳注脚。

  如此说来,康熙皇帝不可能对一样是代数学的“阿尔热巴拉新法”没有兴趣。问题是:何以由康熙皇帝主编的《数理精蕴》只字不提“新法”?最主要的原因之一是:康熙皇帝无法了解符号演算的意义。这当然也可能涉及引进者的数学素养及其数学传统。事实上,《阿尔热巴拉新法》是法国传教士傅圣泽(Jean Francios Foucquet, 1665-1741)为了教导康熙皇帝学习“新代数”而写的。一七一一年之后,傅圣泽应召入宫伴读西方天算。有一天,康熙想知道傅圣泽对代数的看法,于是,傅圣泽遂趁机介绍“新代数”,并强调它比“旧”代数更简单而且更具有一般性。其实,在《阿尔热巴拉新法》卷一第一节中,傅圣泽即强调了“新法与旧法之所以异”:

  或问:阿尔热巴拉旧法,乃最深远之法也,何为又有新法,意必旧法犹有未善者与?

  答曰:旧法未尝不善,但于通融之处,有所不及也,故又有新法济之。

  既然如此,那么二法何以区别呢?傅圣泽指出:“所以异者,因旧法所用之记号,乃数目字样,新法所用之记号,乃可以通融之记号。”所谓“通融记号”,即是指代数符号,“在中华可以用天干地支二十二字以代之”。为了说明它的便利与巧妙,傅圣泽“试以一式明之。假如有一题,凡两个数目字之平方,必包涵四件,乃每字之平方,与两字相乘之两长方,今将十二之两数目字以发明其理。”请参阅我们从该书所复印下来的插图及说明,即可发现傅圣泽试图利用几何意义从(10+2) =100+2(10)(2)+4来“类推”(a+b) = a +2ab+b ,此二项式被翻译成(甲+乙)(甲+乙)= 甲甲+二甲乙+乙乙(请注意该书“加号”与“等号”与现行不同)。从教学观点来看,傅圣泽的解释可以说是尽心尽力了,不过,对西算造诣颇深的康熙皇帝还是作出如下的反应:

  谕王道化:朕自起身起身以来,每日同阿哥等察《阿而热巴拉新法》,最难明  白,他说比旧法易,看来比旧法愈难,错处易甚多,骛突处也不少 …… 还有言者:甲乘甲、乙乘乙,总无数目,即乘出来亦不知多少,看起来想是此人算法  平平耳。(参考《掌故丛编》二辑《清圣组谕旨二》)

  在西方数学史上,符号代数在十六世纪末被发明之后,大约花了将近一世纪的时间才逐渐被数学家广泛接受。究其原因,这些西方数学家应该跟康熙皇帝一样,无法了解符号演算的意义。由此一历史教训,我们或可推论:符号代数的学习需要比较成熟的数学心智,因为即使天纵英明如康熙也表现得束手无策。所以,我们希望国中教师在讲解一元一次方程的解法时,千万多一点耐心与包容,因为从数目演算到符号演算这个“认知跳跃”,对贵贱贤愚显然一视同仁,都是必须努力才能跨越的门坎!

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