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Morley定理的一个新证明
作者:佚名    数学博览来源:本站整理    点击数:    更新时间:2007-10-28
Morley定理的一个新证明

原题: A new proof of Morley theorem

Alain Connes

自从IHES友好地给我提供一个位置以来已经过去22年了.我所知道的数学的大部分是在这里学到的.非常感谢在非正常的午餐时与IHES的永久成员及访问者的聊天.

当我来到IHES时,我全神贯注于自己的工作,并且我经常为自己对于正在讨论的问题一无所知而感到羞愧.DennisSallioon对我非常照顾,他给我上了一堂几何速成课,它影响了我对未来生活的思考.

也是在Bures,感谢那些物理学家,从他们那儿我懂得了J.Hadamard的话的真正含义,那些话阐明了一些从物理而来的数学概念的奥妙所在.

短暂的新奇只能常常影响数学家的自行其是,而只有从大自然中产生的无穷无尽的丰富的新奇才是重要的.为了说明在IHES友善竞争的氛围,我选择了在最近一个春天的午餐会上讨论过的特殊例子,它使我发现了一个有趣的新结果.

大概在1899年,F.Morley证明了一个著名的关于欧几里得三角形的初等几何定理.

给定一个三角形A,B,C,各角的三分角线两两相交,交点分别为$\alpha \beta
\gamma $,它们正好形成一个等边三角形.

午餐中我们中的一个人提到这个定理,并且(错误地)认为是拿破仑证明了此定理.拿破仑早年的确研究过数学,并且在被放逐到St.Helen岛期间,在Longwood不仅学习了英语,而且教授Las Cases的儿子数学.

那是我第一次听说Morley定理,在听了Little Wood的建议后,我回到家就开始寻求这个定理的一个证明(而不是书上的证明).我这样的动机,除了好奇心之外,这显然也是一个挑战.``这个定理是拿破仑不多的几个成就之一,我应该和他比一比'.经过几次不成功的尝试,我很快认识到逐条三分角线的交是围绕三角形顶点的旋转$g_{{i}}$(旋转角是三角形对应角的2/3)两两相乘的不动点.很自然要去寻找等边三角形三重对称(three fold symmtry)g,它是由这三个旋转$g_{{ 1}}$,$g_{{ 2}}$,$g_{{ 3}}$ 生成的群卫里的一个元素.(在球面几何学里)很容易构造一个例子来说明Morley定理在非欧几何学里不成立,所以这个证明这个定理要用到等距变换群的一个特殊的欧氏性质.

因此我花了一些时间去借助于$g_{{ i}}$去学找一个关于g的公式,群$\Gamma
$里有许多阶为3的元素,如$g_{{ 1}}$$g_{{ 2}}$$g_{{
3}}$,用到它们的一个构造(角为2$\pi $/n,n$ \ge
$2的等距变换都是阶为n的).经过多次努力,我发现这些都是徒劳的(见注释2),
而且这个合适的群里是直线的仿射群而不是平面的等距变换群.

全文见《数学译林》
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