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信息几何
作者:佚名    数学博览来源:本站整理    点击数:    更新时间:2007-10-28
信息几何

原题: 情#[243]#[244]何.
译自: Math. Sciences, Feb. 2001, No.452, p.60 -- 67.}}

甘利俊一

1. 概述

用计算机,信号能被离散化地表示为0,1,这正是数字化.在此,拓扑消失了,逻辑或代数成为主角.用控制或统计等处理相似信号,更大地发挥着分析学和概率论的作用.可是,在信息的世界里,难道不需要几何学的结构、信息间的关联以及距离等等吗?不是的!基于这种想法,产生了信息几何.

结果,所得到的是具有对偶的两个联络的黎曼流形.不仅仅是被应用到许多领域里的几何学结构,而且其自身作为数学也是很有意思的.关于信息几何,这里不准备以数学严密地深入,而是给一个概述.

2. 统计流形

考虑同种概率分布的集合. 例如把$x$作为概率变量,其密度函数是通过
$n$维参数$\xi$,用$p\left( {x,\xi} \right)$指定的概率分布族.
其代表性的分布族是高斯分布族. 设$\xi = \left( {\mu ,\sigma}
\right)$,则高斯密度函数由
$$
p\left( {x, \xi} \right) = \frac{{1}}{{\sqrt {2\pi} \sigma} }
\exp \left\{ -\frac{{1}}{{2}}\frac{{\left( {x - \mu} \right)^{2}}}
{{\sigma ^{2}}}\right\}$$
给出.

另外,当$x$取$1, 2, \ldots, n + 1$的离散值的概率分布时,概率分布用
满足$\sum {p_{i}} = 1$的向量$p = ({p_{1}, \ldots , p_{n}, p_{n + 1}} )$表示.如果设$\delta _{i} ( x )$为当$x$取$i$时,$\delta _{i} ({x})$为$1$,否则$\delta _{i} ( {x} )$为$0$,则$p( {x,p} ) = \sum {\delta _{i} ( {x} )p_{i}} $.因$\sum {p_{i}} = 1$, 作为变量 $\xi = ( {p_{1}, \ldots, p_{n}})$是$n$个变量.

这样一来我们发现,在适当的正则条件下,这样的分布族成为以$\xi $为坐标系的流形.那么这些流形具有什么样的几何结构呢?这里模仿微分几何,主要考虑流形的局部距离结构,即黎曼度量和联络.

全文见《数学译林》
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