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${\Bbb R}^3$没有根
作者:佚名    数学博览来源:本站整理    点击数:    更新时间:2007-10-28
${\Bbb R}^3$没有根

原题: ${\Bbb R}^3$ Has No Root. 译自: The Amer. Math. Monthly,
Vol.~109(2002), No.~3, p.~285.}

能否把${\Bbb R}^3$表为某个拓扑空间$X$的乘积$X\times X$?如果可以,我们不妨说$X$是${\Bbb R}^3$的一个{\kaishu 根}.直观上这样一个根不存在似乎是显然的,因为${\Bbb R}^3$是奇数维的.然而,在这样的问题上直观并非总是可信赖的.R.~H.~Bing的狗骨(dogbone)空间$D$是病态的(pathological),但是${\Bbb R}^4$对于$D\times {\Bbb R}$是同胚的;参看[1].在此短文里我们要证明${\Bbb R}^3$的根不存在.对于${\Bbb R}^n$的局部同调群应用K$\ddot{\hbox{u}}$nneth公式[2, p.~302]人们可以证明这一事实.由于$X$是一个一般的空间,故适当的同调理论是技术性的.下述非存在性证明并不玄妙.

一个可逆线性映射$A: {\Bbb R}^n \to {\Bbb R}^n$或者保持${\Bbb R}^n$的定向,或者改变其定向,这取决于$A$的行列式的符号.类似地,一个同胚$h: {\Bbb R}^n \to {\Bbb R}^n$或者保持${\Bbb R}^n$的定向,或者改变其定向,这取决于$h$的函数行列式(Jacobian)的符号.Brouwer度(degree)把保持定向的概念从可微映射推广到连续映射.一个同胚$h: {\Bbb R}^n \to {\Bbb R}^n$,通过一点紧化,推广到球面$S^n$上的一个同胚.对于任一连续映射$f: S^n \to S^n$,Brouwer度$D(f)$是一个整数.我们可以证明,改变定向的同胚的度为$-1$,而保定向的同胚的度为$1$;参看[4, p.~27]和[3, p.~339].度具有乘性,即,$D(f \circ g) = D(f)D(g)$,这蕴涵着下述结果.

{\heiti 引理} \ \ {\kaishu 如果$h: {\Bbb R}^n \to {\Bbb R}^n$是一个同胚,则$h^2 = h \circ h$是保定向的.}

[5]中有这个引理的一个初等证明.

{\de 定理} {\kaishu ${\Bbb R}^3$没有根.}

{\kaishu 证明} \ \ 假设${\Bbb R}^3 = X \times X$.那么${\Bbb R}^6= X \times X \times X \times X$,并且移位(shift)映射$\sigma (x, y, z, w) = (w, x, y, z)$是一个同胚.注意,$\sigma^2 (x, y, z, w) = (z, w, x, y)$.如果我们把${\Bbb R}^6$表为${\Bbb R}^3 \times {\Bbb R}^3$,那么$\sigma^2$是线性映射,并且它把前三个坐标(即表示${\Bbb R}^3$中点的$x, y$.---$\!$---校注)变为后三个坐标.这个线性映射的行列式是$-1$,因而$\sigma^2$是改变定向的,这与引理矛盾.此证明几乎可以逐字逐句地用于证明奇数维空间${\Bbb R}^n$的任一开子集没有根.

``${\Bbb R}^3$是否有根'的问题是多年前由Jan Aarts所提出来的.

童欣 译 陆柱家 校
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