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未解开的数学奥秘
作者:佚名    数学博览来源:shuxueweb    点击数:    更新时间:2007-10-22

  数学的确提出了大量问题。事实上,数学和问题是分不开的。历史证明,数学概念成了数学问题的催化剂,数学问题又激发了许多数学概念和数学发现。古代三大不可能作图题①、柯尼斯堡桥问题②和平行公设问题③是历史上已经得到解决并在解决过程中激发数学思维、概念和发现的典型问题。提出数学问题,思考数学问题,细阅答案证明,是推动数学家前进的动力。

  下面是几个著名的“未解决”数学问题:

  未解决的素数问题

  ·有没有一个公式或一种试验方法可用来确定一个给定数是否素数?

  ·是否有无穷多对孪生素数?一对孪生素数是一对相邻素数,它们的差是2。例如3和5,因为5-3=2。还有如5和7,11和13,41和43。

  ·奇完满数之谜。 如果一个数等于它的全部真因数的和,则这数称为完满数(真因数即除本身以外的因数)。6是偶完满数的例子,因为6=1+2+3。其他例子有28、496和8128。约公元前300年,欧几里得证明,如果2n-1是素数,则2n-1(2n-1)是完满数。然后在18世纪,伦哈德·欧拉证明任何偶完满数必然符合欧几里得的式子。例如 8128=26(27-1)。

  但是奇完满数仍是一个谜。至今为止,没有人发现过一个奇完满数,也没有人证明所有完满数都是偶数。

  哥德巴赫猜想

  每一个大于2的偶数都是两个素数的和吗?

  1742年,德国数学家克里斯琴·哥德巴赫(1690~1764)给伦哈德·欧拉( 1707~1783)写了这样一个猜想:除 2以外的每一个偶数都是两个素数的和。例:4=2+2,6= 3+3,8=3+5,10=5+5,12=7+5.虽然哥德巴赫的这一猜想被相信是对的,但是还没有人作出过证明。至今为止,已获得了下述成果:1931年,苏联数学家施尼雷尔曼思路清晰地证明了任何偶数可被写成不多于300000)个素数的和——这与两个素数离得太远了;伊凡M.维诺格拉多夫(1891~1983)证明所有足够大的奇整数都是三个素数的和;1973年,陈景润证明每一足够大的偶数都是一个素数与一个或是素数或是仅有两个素因数的数之和。

  费马大定理

  在17世纪,皮埃尔·德·费马(1601~1665)在他的一本书的边上写道——

  把一个立方数分成两个立方数,把一个四次方数或一般地任何超过二的高次方数分成两个同次方数,都是不可能的,对此我肯定已经获得一个绝妙的证明,但是边上地位太窄,写不下。

  这定理可重述为:如果n是大于2的自然数的话,不存在任何正整数x、y、z能使xn+yn=zn.费马的注成了一个挑战。几世纪以来,甚至最卓越的数学家都没能作出证明或反证。

  下一节将提供另外的背景,并讨论有关费马大定理的最新消息。由于力图证明费马大定理而得到的某些发现也许比这定理本身更重要。

  *  *  *

  研究尚未解决的数学思想,与探讨已知的东西同样有趣。这里不过是数学的未解之谜中的一点小小的样品。虽然有些问题很简单,可以讲给没有数学背景的人听,但它们的解却是难以捉摸的。

  ①只许用直尺和圆规求解的古代三大不可能作图解是:三等分一个角(把一个角分成相等的三个角)、倍立方(作一立方体,使它的体积是一给定立方体的两倍)、化圆为方(作一正方形,使它的面积与一给定圆相等)。由这三个问题刺激发展起来的几个发现是尼科米兹的蚌线、阿基米德的螺线和希庇亚斯的割圆曲线。

  ②柯尼斯堡桥问题的要求是找出一条通过柯尼斯堡七座桥的路线,其中任何一座桥都只许经过一次。欧拉在解这问题时发展了网络的概念。

  ③平行公设涉及的是确定欧拉的第五公设究竟是不是公设而非定理。试图证明这一公设的各种努力,导致了非欧几何的发现。

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