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四元数和数字们的争论
作者:佚名    数学博览来源:shuxueweb    点击数:    更新时间:2007-10-22

  对于外行来说,要理解如何能把数描述为具有不同的维,是困难的。一个数似乎只是数而已——是描述一个特定的量的东西。一、二、三、四等等这些数怎么会有维数?好吧,让数学家们来给数的特征作出另外的解释吧。例如,数学家们认为任何实数或任何虚数都是一维的,因为它们本身只有一个部分是表明它们的数量的。而且它们能图示在作为一维对象的一条直线上。另一方面,复数称做二维数,因为它们由一个实数和一个虚数组成。例如,当 5+2i被图示时,它占据一个平面(二维图形)上的某一位置,这个平面称做复数平面。现在你会问,二维数的用法如何,人们的需要为什么还不止此。就许多被发现或发明的数学思想来说,它们的各种用途要到它们存在之后许多年才显露出来。复数也不例外。例如,今天它们被用来描述流体动力学中流的模式、电流和机翼的形状。既然这些复数在求解各种类型的问题时有用,而且很有效,看来下一步自然是找寻三维数了。虽然这件事没有做成,却导致了四维数即四元数的发现。四元数是威廉·哈密顿爵士在1843年发明的。和复数一样,四元数遭受到了怀疑和冷遇。四元数由四个值或描述特征组成——x、y、z三轴上的值(将一点在三维空间内定位的数)和一个标量(不像x、y和z的值那样描述方向的量)。四元数集与实数集、虚数集或复数集不同,相乘时不可交换——相乘的不同次序造成不同的结果。这些四维数今天是怎样起作用的呢?它们的日常用途之一是通过描述三维空间中的旋转在计算机上进行图像信息传递。下面的故事试图证明四元数和所有其他的数一样,有它们自己的个性。

*   *  *

  在数字社会中,小集团已经按惯例开始形成。真令人遗憾,数字们居然不能认识到它们自己是一个快乐的家庭。

  在计数数一统天下的那些世纪中,奇数和偶数要争论谁更有用。但是当整数带着它们的负数登场时,奇数和偶数就把它们的力量联合起来了。

  现在对于这个重大的原则问题——谁将会接受四元数这个新来者,不同的派别已经开始形成。计数数一直是很高傲的——只接纳大于或等于1的整数。它们穿着它们的自然性外衣——相邻两数之间只以一个单位增长。它们必须研究一下这个新来者,然后决定它是否属于它们的集合。整数对于四元数是既热又冷,而中性的零则不偏不倚,因为它既不是负的又不是正的。

  有理数当然要更加认真地考虑这问题。但是分数照例对展现它们的分子和分母更感兴趣,而对小数则甚至不愿提及。若干年来,小数对分数已经习惯了。它们不再受到分数的古怪行为的干扰。小数知道它们运算起来比分数容易得多,特别是用计算器时。 0.007甚至说分数过时了。但是 1/7跳进来说,“虽然人们必须找到公分母来将我们相加或相减,而且我们需要一些奇特的步骤来进行乘除,同时我们宁愿排在最后,但是你们有些表示有理数的小数方式是不时兴的了。事实上,有些计算器的存储器不能存储你们的小数表示。”于是包括计数数、整数、分数和小数在内的有理数就继续在互相争斗。

  四元数理所当然地害怕快餐店边上的一群根式(这里以根号比喻快看到过它们与“有理”数进行的争吵。四元数听说过它们会怎样的无理。但使它惊奇的是,它们喜欢交谈。“我听说你有许多部分,人们称你为环的。所有那些一位一位的数是一长条拖着走的东西,所以我宁愿穿我的平方根衣服。或许你也能找到一种更简略地表示自己的方式。

  望抬头,补充道,“你务必弄清复数集。它把我们全都掌握了——计数数、整数、有理数、无理数、实数和虚数。”

  “但是我听说复数集有一种分裂的性格,它在实数与虚数之间摇摆着,”四元数说。

  突然复数3-5i走了过来,说道,“你理解得对,不过复数平面给了我们各自一个单一的点,我们可以在上面安身。即使最坏的情况发生,我总能避居在那里。我知道那是完全属于我自己的点,除我以外,其他一概不能占据那个位置,所以我在那里能够独处,能够休整,能够松弛和沉思。我们各自有自己的据点,我们可以把它叫做家。

  “你看来具有多重性格,这是就你的向量和标量而言的,”3-5i对四元数说。“我肯定复平面上没有你的位置。”

  “我希望我能找到我自己的据点和家,”四元数说。它带着忧伤的语调继续说下去,“我不知道该走哪条路,或者应该说不知道要找到哪种集合。”

  “这当然是困难的,”一个相当深沉的声音说话了。四元数转过来但是它们不肯让我径直进入实数中去,说没有办法找到我在实数轴上的们的位置。那末我该怎么办呢?我必须花言巧语一番,使实数终于明白我是多么重要的一个无理数,特别因为所有的圆都靠我来求出它们的周长和面积,不仅如此,我还是一个超越数。”“什么,π,你似乎说你是唯一的超越数,”数e说,它是以说大话闻名的。“我恰好也是超越数,是自然对数的底,而且除了用在微积分中以外,还广泛存在于自然界中。”

  四元数开始头痛起来,它对所有这些戏弄和争吵感到厌烦了。“也许我不属于这里,”四元数说。“也许你不,”所有复数都叫喊道。“但是你属于哪里呢?”它们嘲笑着四元数。

  “我与你们大家都不同。我有更大的深度,更多的维。也许我属于我自己的集合。是的,正是它!我是四元数即四维数集中的一分子,因为我的一般形式是q=a+xi+yj+zk.“讲完这话,四元数开始从常规地面升起,突然消失,好像它已经到另一维中去了。

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