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概率是1/2还是2/3?
作者:佚名    数学博览来源:shuxueweb    点击数:    更新时间:2007-10-22

  很多人可能都熟悉这样一个问题(三个箱子的问题):

  有三个一样的大箱子,其中一个箱子里面有一辆高级轿车,另外的两个箱子里面是一些铅笔、糖果之类的东西。你当然不知道哪个箱子里面放了哪些东西。

  你首先选择了一个箱子。

  这时主持人(知道高级轿车在哪一个箱子中)从另外两个箱子中选择了一个,并且打开了箱子。可以使你松一口气的是,这只箱子里没有高级轿车。

  这时你被告知,如果你改变主意,选择剩下的那只箱子还来得及。你改变选择,还是不改?

  可能你的直觉告诉你,高级轿车在尚未打开的两个箱子中的一个,选择哪一个是无所谓的,改变选择并无意义。

  其实,你应当改变选择,改变的结果会使你赢得汽车的可能性加大一倍!

  让我们这样考虑:

  当你第一次选择时,你能赢得轿车的概率不多不少正好是1/3,也就是说轿车在其它两个箱子中的一个的概率是2/3.如果这两个箱子中一只被打开,轿车在这两个箱子中的一个的概率仍然是2/3,因此轿车在那只尚未打开的箱子中的概率是2/3.

  你可能不太服气,没关系,让我们看下面的 “三张卡片”的问题:

  有三张卡片,其中一张两面都是红的、一张两面都是白的,另外的一张一面是红的一面是白的。从中随机地抽取一张,并且随机地放下,这时红色朝上。问这张卡片的背面也是红色(即双面皆红)的概率是多少?

  这可太容易回答1/2了!因为你是这样想的:既然这张卡片是红色朝上,那么这张卡片一定不会是双面皆白的那张,也就是说这张卡片的不是双面皆红的那张就是一面红一面白的那张。

  其实,这个问题和上面那两个问题的结构还是一样的,那张双面皆白的卡片相当于那个被打开的箱子。

  这次我们来计算一下,根据条件概率的贝叶斯(Bayes)定理

  因此,这张卡片的背面也是红色的概率是2/3。

  计算是确定无误的,但是能得到这样结果的人并不多。在一次对5、7、9、11年级的学生(美国)的调查中,只有9 人得到了正确的结果,当然他们不是通过计算得到的。具体情况如下:

5年级(n=36)

7年级(n=45)

9年级(n=50)

11年级(n=42)

总数(173)

得到结果2/3的人数

0

2(4%)

4(8%)

3(7%)

9(5%)

  这9人是如何得到正确结果的?迪兰是9 个答对了的学生之一,下面我们看一下他和一位教学研究者的对话,从中可以看他是怎么想的。

  迪兰:事情是这样的(迪兰在纸上写下了R1R2,R2R1,RW,意思是红1红2,红2红1,红白),如果抽到的是双面红色的卡片,那么背面一定的红的。一共有两种可能性,因此3次中有2次都会是红色的。

  研究者:有人给出了另外的解释,也就是既然他看到了红色朝上,那么这张卡片不是双面红的就是一面红一面白的,因此背面是红色的可能性是一半一半。你怎样给他解释呢?

  迪兰:你不能把它想成是双面红的,应该想成是R1和R2,你不知道那个面是哪一个红色?可以是任何一个。双面红色的卡片有两个不同的红色面。

  一个叫奥托的11年级的学生给出了另外一种解释:

  奥托:你选到了一个红面,还有两个其他的卡片。但是这张卡片很可能是双面红色的卡片。因为在四个面中,有三个都是红的。在你可以选择的三个面中,其中两个都是红色的。

  两个学生的谈话比较直观地对结果2/3进行了解释。

  事实上,你还可以用试验的方法进行验证。按题目中的要求做三张卡片,并按题目中所说抽出一张红面朝上的卡片(需要有人配合),看该卡片的背面的颜色,统计出背面是红色或白色的频数,然后你就可以看到它们的可能性各是1/2的结果是不合理的。

  附录

  Bayes定理:

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