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数学符号漫谈
作者:佚名    数学博览来源:shuxueweb    点击数:    更新时间:2007-10-23
数学符号漫谈(转贴)
    数学是上帝用来书写宇宙的文字   —伽利略 
  符号常常比发明它们的数学家更能推广。—F·克莱茵 
  教学也是一种语言,且是现存的结构与内容方面最完美的语言。……可以说,自然用这个语言讲话超世主已用它说过话,而世界的保护者继续用它讲话。—C·戴尔曼 
  人总想给客观事物赋于某种意义和价值,利用符号认识新事物,研究新问题,从而使客观世界秩序化,这便创造了科学、文化、艺术、…… 

  符号就是某种事物的代号,人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物,符号也正是这样产生的。 

  文字是用声音和形象表达事物的符号,一个语种就是一个“符号系统”。这些符号的组合便是语言。 

  人们试图用“精密”的方法研究艺术,这在很大程度上依靠符号,“艺术符号学”这门新兴学科应运而生了,它是美学的一个部分。 

  1961年,苏联数学家科尔莫哥洛夫把统计学分析应用到诗歌语言研究中,把语言中的转换和其他符号学系统中的转换相比较,论述了符号学的一般意义。 

  符号对于数学的发展来讲更是极为重要的,它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束,集中精力于主要环节,这在事实上增加了人们的思维能力。没有符号去表示数及其运算,数学的发展是不可想象的。数是科学的语言,符号则是记录、表达这些语言的文字。正如没有文字,语言也难以发展一样。几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存,数学符号是贯穿于数学全部的支柱。 

  古代数学的漫长历程、今日数学的飞速发展;十七、十八世纪欧洲数学的兴起、我国几千年数学发展进程的缓慢,这些在某种程度上也都归咎于数学符号的运用得当与否,简练、方便的数学符号对于书写、运算、推理来讲,都是何等方便!反之,没有符号或符号不恰当、不简练,是必影响到数学的推理和演算。 

  然而,数学符号的产生(发明)、使用和流传(传播)却经历了一个十分漫长的过程。这个过程的始终贯穿着自然、和谐与美。 

  古埃及和我国一样,是世界上四大文明古国之一。早在四千多年以前,埃及人已懂得了数学,在数的计算方面还会使用分数,不过他们是用“单位分数”(分子是1的分数)进行运算的。此外,他们还能计算直线形和圆的面积,他们知道了圆周率约为3.16,同时也懂得了棱台和球的体积计算等。可是记数他们却是用下面的符号(这里面多是写真,显然包含着美)进行的: 


  1 10 100 1000 10000 100000 1000000这样书写和运算起来都不方便,比如要写数2314,就要用符号表示。 

  后来他们把符号作了简化而成为: 

  古代巴比伦人(巴比伦即当今希腊一带地方)计算使用的是六十进制,当然它也有其优点,因为60有约数2、3、4、5、6、10、12、15、30、60等,这样在计算分数时会带来某种方便(现在时间上的小时、分、秒制及角的度制,仍是六十进制)。巴比伦人已经研究了二次方程和某些三次方程的解法。他们在公元前2000年就开始将楔形线条组成的符号(称为楔形文字)刻在泥板上,然后放到烈日下晒干。同样他们也是用楔形文字表示数的(简洁、粗犷): 
我国在纸张没有发明以前,已经开始用“算筹”进行记数和运算了。“算筹”是指用来计算用的小竹棍(或木、骨棍),这也是世界上最早的计算工具。用“算筹”表示数的方法是: 

  记数时个位用纵式,其余位纵横相间,故有“一纵十横,百立千僵”之说。数字中有0时,将其位置空出,比如86021可表示为: 

  甲骨文字中数字是用下面符号表示的(形象、自如): 

  阿位伯数字未流行以前,我国商业上还通用所谓“苏州码”的记数方法(方便、明快): 

  它在计数和运算上已带来较大方便。 

  在计数上欧洲人开始使用的是罗马数字:阿拉伯数字据说是印度人发明的,后传入阿拉伯国家,经阿拉伯人改进、使用,因其简便性而传遍整个世界,成为通用的记数符号。
 
 
我们再来看看代数学的重要内容:“方程”符号产生的历史。 

  在埃及出土的三千六百年前的莱因特纸草上有下面一串符号: 

  它既不是什么绘画艺术,也不是什么装饰图案,它表达的却是一个代数方程式,用今天的符号表示即: 宋、元时期我国也开始了相当于现在“方程论”的研究,当时记数仍使用的是“算筹”,在那时出现的数学著作中,就是用右图中的记号来表示二次三项式412x2-x+136的。其中x系数旁边注以“元”字,常数项注以“太”字,筹上画斜线表示“负数”。 

  到了十六世纪,数学家卡当、韦达等人对方程符号有了改进
直到笛卡儿(法国数学家)才第一个倡用x、y、z表示未知数,他曾用xxx-9xxx+26x-24∝0 

  表示 

x3-9x2+26x-24=0, 

  这与现在的方程写法几乎一致。 

  我们还想指出一点:数及其运算只有用符号去表示,才能更加确切和明了。随着数学的发展,随着人们对于数认识的加深,用原有符号去表示新的概念,有时竟会感到无能为力(没有根号如何表示某些无理数?),这需要创新。 

  圆周率(圆的周长与直径的比)是一个常数,1737年Euler首先倡导用希文π来表示它(早在1600年英国数学家W.Oughtred曾用π作为圆周长的符号),且通用于全世界。 

  用e表示特殊的无理常数(也是超越数)——欧拉常数: 


  的也是Euler。我们知道要具体写出圆周率或欧拉常数根本不可能(它们 

    
  ,然而用数学符号却可精确地表示它们。 

       
  年首创的(这也使我们想到:欧拉的成就与他对数学符号的创造不无关系)。 

  (那么奇妙的等式eiπ+1=0(① 在这里若1、0代表算术,i代表代数,π代表几何,超越数e则代表分析学。那么此式将许多数学分支融合到了一起。)中的五个数中的三个书写符号都是出自数学大师Euler之手!) 

代数学就其某种意义上说是符号形式的运算。关于方程式符号的演变,我们在前面已经阐述,关于其他一些数学符号的产生可见下表: 


  当然数学中还有许多符号,这些符号均有其独特含义,使用它们不仅方便而且简洁,比如“!”号表示阶乘,那么 

n!=n×(n-1)×…×2×1, 

  这种符号的进一步使用与推广便是“∏”: 


  与之相应的还有求和号“∑”含义是: 


  有趣的是求和概念的推广—函数求积中积分符号“∫”似乎是“∑”号的拉伸人们也意识到:只有使用不曾为那些含糊观念(如时间、空间、连续性等)所侵占了的符号语言——这些含糊观念起源于直觉,常会妨碍纯粹的推理——我们才有希望把数学建筑在逻辑的稳固基石上。 

  数学符号除了简洁之外,还有另外的意义:形象美。 

  哈密顿算子是一种重要的微分算子: 


  由它作为工具,可导出一系列美妙的结论: 

      
  gradu) 


  这是一个代表u在空间中最大变化率的大小和方向(它是一个向量)的符号。 

  当它作用于向量场函数: 

v=v1i+v2j+u3k(vi是x、y、z的函数) 


  这是一个“四元数”,其数量部分称为v的散度(记为divv),向量部分称为v的旋度(记为rotv)。 

  若用哈密顿算子,v的散度、旋度又分别可表示为: 


  十九世纪末,麦克斯韦的电磁学方程组,其微分形式就是用哈密顿算子表示的,其简洁与美妙自不待言。 

  拉普拉斯方程 


  若用哈密顿算子表示,也是十分漂亮、利落: 


  由上看来,数学符号对于表现数学的简洁性,是何等重要!这就是说:数学符号简化了复杂的数学理论,且通过它可把远离的数学理论巧妙地联系起来。 

  若说+、-、×、÷、……等在数学上不过是一个符号,那么行列式和矩阵记号的出现,则是数学语言上的大胆创新,它的绝妙处已为它在现代数学发展中的作用所显示。 

  行列式概念源于Cauchy,他是在讨论二次型ax2+2bxy+cy2的判别式时而引入的。Lagrange也讨论过某些三阶行列式。  
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