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安东尼的名次
作者:佚名    数学博览来源:shuxueweb    点击数:    更新时间:2007-10-22
  安东尼、伯纳德和查尔斯三人参加了几项田径比赛。

  (1)每项比赛只取前三名,第一名、第二名、第三名分别得3分、2分、l分。

  (2)并列同一名次者,都得到与该名次相应的分数。

  (3a)把每人在撑竿跳、跳远和跳高比赛中的得分加起来得到一个个人总分,结果这三人的个人总分都一样。

  (3b)把这三人在某项比赛中的得分加起来得到一个团体分,结果三个项目的团体分都一样,而且这个团体分与上述的个人总分相等。

  (4)在撑竿跳比赛中没有出现得分相同的情况。

  (5)安东尼和查尔斯在跳远比赛中得分相同。

  (6)安东尼和伯纳德在跳高比赛中得分相同。

  (7)在这三项比赛中,伯纳德有一项没有得分,查尔斯也有一项没有得分。

  在撑竿跳比赛中,安东尼得了第几名?

  (提示:找出一个每一行的和与每一列的和都相等的3×3方阵,即可判定出安东尼在撑竿跳比赛中的名次。为此,用代数方法表示安东尼和查尔斯在跳远比赛中的得分,以及安东尼和伯纳德在跳高比赛中的得分。)

答 案

  这三人在三项比赛中的得分可以记入如下的3×3方阵:


撑竿跳比赛

跳远比赛

跳高比赛


  安东尼

  伯纳德

  查尔斯

  根据(3a)和(3b),这个方阵中每一行的和与每一列的和必须都等于同一个数。根据(2)和(5),设安东尼和查尔斯在跳远比赛中的得分为b。根据(2)和(6),设安东尼和伯纳德在跳高比赛的得分为h。根据(l)和(2),b可以是0、l、2或3,h也可以是0、l、2或3。因此,把b和h组合起来共有十六对可能的数值。

  如果b=h(即两者同时是0、1、2或3),则为了满足(3a)和(3b),方阵变成:

a

b

b

b

a

b

b

b

a

  这种情况与{(4)在撑竿跳比赛中没有出现得分相同的情况。}矛盾,因而是不可能的。

  如果b=0而h不等于0(b=0,h=1;b=0,h=2;b=0,h=3),则为了满足(3b),第二列的和必须等于第三列的和。

0

h

2h+a

h

0

a

  为了满足{(3b)把这三人在某项比赛中的得分加起来得到一个团体分,结果三个项目的团体分都一样,而且这个团体分与上述的个人总分相等},第二行的和必须等于每一列的和。但是第二行的和已经大于所示的任何一列的和,因此这种情况是不可能的。

  如果h=0而b不等0(b=l,h=0;b=2,h=0;b=3,h=0),则为了满足(3b),第三列的和必须等于第二列的和。

b

0

a

0

b

2b+a

  为了满足(3b),第三行的和必须等于每一列的和。但是第三行的和已经大于所示的任何一列的和,因此这种情况是不可能的。

  如果b=l,h=3,则为了满足(3b),第二列的和必须等于第三列的和。

1

3

a+4

3

1

a

  这种情况与{(1)每项比赛只取前三名,第一名、第二名、第三名分别得3分、2分、l分。}矛盾,因为a不能小于0,从而a+4至少等于4。(再者,第二行的和已经大于所示的任何一列的和,这与(3b)矛盾。)因此这种情况是不可能的。

  如果b=3,h=l,则为了满足(3b),第三列的和必须等于第二列的和。

3

1

a+2

1

a

a

  这种情况与前一种类似,所以是不可能的。

  如果b=2,h=3,则为了满足(3b),第二列的和必须等于第三列的和。

2

3

a+2

3

2

a

  为了满足(3b),第三行的和必须等于每一列的和。于是,查尔斯在撑竿跳比赛中必须得到4分,但这与(l)矛盾。因此这种情况是不可能的。

  如果b=3,h=2,则为了满足(3b),第二列的和必须等于第三列的和。

3

2

a

2

3

a+2

  这种情况与前一种类似,所以是不可能的。

  如果b=1,h=2,或者b=2,h=1(它们是剩下的仅有可能),则为了满足(3a)和(3b),方阵变成下列二者之一:

a+1

1

2

0

a+2

2

3

1

a

 

a+1

2

1

3

a

1

0

2

a+2

  本题的要求是求出a+l的值(这是上述两个方阵中唯一相同的记录):a不能大于0,否则与{(7)在这三项比赛中,伯纳德有一项没有得分,查尔斯也有一项没有得分。}矛盾;因此a必须等于0。于是a+l=l。

  由于1分是第三名的得分,所以安东尼在撑竿跳比赛中得了第三名。

  总结起来,得分的情况是下列二者之一:

撑竿跳比赛

跳远比赛

跳高比赛


  安东尼

  1

  1

  2

  伯纳德

  0

  2

  2

  查尔斯

  3

  1

  0

撑竿跳比赛

跳远比赛

跳高比赛


  安东尼

  1

  2

  1

  伯纳德

  3

  0

  1

  查尔斯

  0

  2

  2

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