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黛安娜的妹妹
作者:佚名    数学博览来源:shuxueweb    点击数:    更新时间:2007-10-22

  黛安娜和母亲一起上街为她妹妹的生日聚会购买糖果和小礼品。黛安娜的母亲专买小礼品,而黛安娜专买糖果。关于她买糖果的数量和所买小礼品的数量,以及她们所花的钱款,情况如下:

  (1)黛安娜身上只带了十三枚硬币,而且里面只有三种:1美分、5美分和25美分。她把它们全部用来买了糖果。

  (2)她为奥尔西娅买的糖果每块2美分,她为布莱思买的糖果每块3美分,她为卡丽买的糖果每块6美分。

  (3)她为这三个女孩买的糖果块数各不相同,而且都不止一块。

  (4)有两种糖果她所付的钱款相同。

  (5)她母亲买了一些小礼品,每件小礼品的单价都一样。母亲总共花了4.80美元。

  (6)黛安娜所买糖果的块数同她母亲所买纪念品的件数相等。

  (7)黛安娜给她妹妹买的糖果块数最多。

  三个女孩中,谁是黛安娜的妹妹?

  (提示:根据(1)、(2)、(5)、(6)可列出五个方程。根据(4)所列出的三个方程,只有一个是正确的。在这些方程中各个量的和与积是奇数还是偶数,应予考虑。)

  答 案

  设P=黛安娜所带的1美分硬币和枚数,

  N=黛安娜所带的5美分硬币和枚数,

  Q=黛安娜所带的25美分硬币和枚数,

  T=黛安娜为买糖果所花的总钱数(以美分为单位),

  a=为奥尔西娅所买的糖果的块数,

  b=为布莱思所买的糖果的块数,

  c=为卡丽所买的糖果的块数,

  d=母亲所买的纪念品的单价(以美分为单位),

  F=母亲所买的纪念品的件数。

  以上各数都是正整数。

  根据(1):(la)P+N+Q=13,

  (1b)P+5N+25Q=T

  根据(2):(2)2a+3b+6c=T。

  根据(3):(3)a、b、c各不相同而且都大于1。

  根据(4):(4)或者2a=3b,或者2a=6c,或者3b=6c。

  根据(5):(5)F×d=480。

  根据(6):(6)a+b+C=F。

  根据(7),问题可以重新表述为:

  (7)a、b、c中哪一个最大?

  这里一共有六个方程和九个未知数,第四个方程是三个可能的方程中的一个。方程太多,无法仅用代数方法求解,因此除了各数都是正整数这一特点之外,必须再寻找其他特点。

  我们知道:两个奇数之和总是偶数,

  两个偶数之和总是偶数,

  一个奇数与一个偶数之和总是奇数。

  而且知道:两个奇数之积总是奇数,

  两个偶数之积总是偶数,

  一个奇数与一个偶数之积总是偶数。

  根据这些规律,在方程(1a)中,或是P、N、Q三者都是奇数,或是这三个数中只有一个是奇数。无论是这两种情况中的哪一种,(1b)中的T总是奇数。于是方程(2)中的b是奇数。这样,在方程(4)中,2a不能等于3b,因为2a是偶数而3b是奇数。3b也不能等于6c,因为6c是偶数而3b是奇数。因此2a=6c。(至此,已经知道c不是最大的数,因为a必定大于c。)两边除以2,得a=3c。代入方程(6),得b+4c=F。

  由于b是奇数,所以在b+4c=F中,F是奇数。在方程(5)中,480是两个数的乘积,其中一个是奇数(F),另一个是偶数(d)。在这个乘积中,F可能取的奇数值只有l、3、5或15。F等于1或3是不可能的,因为在b+4c=F中,b和c必须是正整数。根据(3)(b和c不能等于1),F也不等于5。因此,F必定等于15。

  于是b+4c=15,而C不能大于3或者小于1。根据(3),C不能等于1,也不能等于3否则b也等于3)。所以C必定等于2。从而b=7。根据前面得出的a=3c,所以a=6。因此b是最大的数。这样,根据(7),布莱思是黛安娜的妹妹。

  其他各值可以求解如下。因为F=15,所以根据(5),d=32。由于a=6,b=7,c=2,所以根据(2),T=45。从(1b)减去(la)得出4N+240=32。两边除以4,得N+6Q=8。Q不能大于1(否则N将是负数),也不能小于1(因为根据(l),黛安娜有25美分的硬币),因此Q=l。于是N=2。于是根据(la),P=10。

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